VASTALUKU

Olet varmaan huomannut, että jos kuljet kolme askelta eteenpäin ja sitten kolme askelta taaksepäin, et ole edennyt metriäkään, olet samalla paikalla kuin ennenkin. 

Se voidaan matemaattisesti merkitä näin: +3-3 = 0

Samoin, jos sinulla on 5€ ja annat sen kaverille, sinulla ei ole yhtään rahaa. 

Se voidaan  matemaattisesti merkitä  5 -5= 0, 

 Luvut 5 ja -5    ovat toistensa VASTALUKUJA. Lukua  5 sanotaan kummankin luvun itseisarvoksi.
 (Itseisarvohan on lukusuoralla luvun etäisyys origosta ja se on aina positiivinen luku.) 

Positiiviset luvut ovat oikeasti kaikki +  -merkkisiä, eli 5=+5, 3=+3,  387= +387  jne. On kuitenkin sovittu, että vain negatiivisiin lukuihin tarvitsee merkitä etumerkki. Ja toisaalta kaikki yhteen- ja vähennyslaskut voidaan merkitä summina, joissa lasketaan yhteen positiivisia ja negatiivisia lukuja. 

Edelliset lauseet voisi kirjoittaa näinollen:

+3 +(-3) = 0   
(ensin kolme eteenpäin ja lisäksi kolme taaksepäin, et liikahtanut yhtään!)

+5 +(-5) = 0  
( jos ensin on  + 5 € ja lisätään  - 5 € niin tuloksena on 0 € )

opiskele vielä täältä!

VASTALUKUJEN SUMMA ON AINA NOLLA.    -74+ (+74) =0

Summalausekkeessa vastaluvut siis kumoavat toisensa.

(+7) + (+6) +  ( -7) = 6  ja sievemmin 

7+ 6-7 =6

Koskaan kahta etumerkkiä ei saa kirjoittaa peräkkäin.
Jos haluat merkitä  -5:n vastaluvun, täytyy käyttää sulkuja: -(-5) 


-3 on kolmen vastaluku,  -(-3) tarkoittaa miinus kolmen vastalukua, joka =3.


 
Jos luku on positiivinen eikä sillä ole etumerkkiä, niin vastaluku saadaan lisäämällä miinus-etumerkki. Negatiivisen luvun vastaluku taas saadaan jättämällä miinus-merkki pois luvun edestä. Käytännössä voidaan aina soveltaa sääntöä: Luvun vastaluku saadaan vaihtamalla sen etumerkki. 

-( +8) tarkoittaa  kahdeksan vastalukua, eli -8:aa.  ELI  -( +8) = -8

-(-8) tarkoittaa -8:n vastalukua, eli 8:aa.   ELI -(-8) = 8


ESIM: 
Luvun 2 vastaluku on -2.

Luvun -11 vastaluku on 11 (oikeastaan -(-11) = 11).

Jälkimmäistä tulosta voisi vielä havainnollistaa vertaamalla vastaluvun miinus-merkkiä kieltävään sanaan "ei". Kaksi "peräkkäin" olevaa "ei"-sanaa kumoavat toisensa. Vertaapa lausahduksia "tein tehtävät" ja " ei pidä paikkaansa etten tehnyt tehtäviäni" 

Laskujärjestyssopimus (VIIKKO 41)

1. Laskut lasketaan yleensä vasemmalta oikealle. 
2. Joskus opn mielekästä vaihtaa laskujärjestystä. Esim.  2+ 375 + 98=  ? Koska      2+98=100, on mielekästä laskea tämä ensimmäisenä ja lisätä keskimmäinen luku vasta viimeisenä. 


3. Kertolasku ja jakolasku  lasketaan  ennen yhteen- ja vähennyslaskua.
66 - 7 * 4 = 38
7 * 5 - 3 * 6 = 17 

Tehtäviä

4.  Jos  näitä järjestyssopimuksia halutaan muuttaa, käytetään sulkuja. 

POHDITTAVAA: Isä kaivoi ojan kolmessa päivässä, kun taas pojalta meni saman ojan kaivamiseen kahdeksan päivää. Kuinka kauan kuluu aikaa, jos poika ja isä kaivavat ojan yhdessä?
Hmm. Aika monelle tuli ensimmäisenä mieleen, että keskiarvoolisi 5 ja puoli päivää, mutta mietipä tarkemmin. Jos isältä menee ojan kaivamiseen kolme päivää, niin tokihan pojan kanssa aikaa kuluu VÄHEMMÄN!
Ratkaise tämä murtolukujen avulla. 
Minkä osan ojasta isä kaivaa ensimmäisenä päivänä?
Minkä osan poika kaivaa ensimmäisenä päivänä?
Mikä osa ojasta on kaivettu ensimmäisen päivän jälkeen?
jne..
Muodosta lauseke ja kerro opettajalle, miten ratkaisit viikon 41 tehtävän. 

Lukujoukot

Käy opiskelemassa lukujoukkoja täällä.

JOUKKOMALLI LUKUJOUKOISTA

Erityyppisistä lukuja kuvataan usein joukkomallilla. Jokaisella lukujoukolla on oma kirjainlyhenteensä.

Yksinkertaisin lukujoukko on lukumääriä esittävä luonnollisten lukujen joukko N. (Tulee sanasta Natural= luonnollinen)

Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3, ...}

Nollaa pienempiä lukujakutsutaan negatiivisiksi luvuiksi. Luonnolliset luvut ja negatiiviset luvut muodostavat yhdessä kokonaisluvut, joiden lyhenne on Z.  (Tulee saksan sanasta Zahl= luku)

Kokonaisluvut Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Kokonaislukujen jakolaskusta syntyy usein lukuja, jotka eivät ole kokonaislukuja. Edellisiä lukujoukkoja täydennettynä tällaisilla luvuilla kutsutaan rationaaliluvuiksi, joita merkitään kirjaimella Q. Useat desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuna, myös jaksolliset päättymättömät desimaaliluvut, kuten esim. o,128128...

Rationaaliluvut Q = {Kaikki ne luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina}

Lukujoukkoja kuvataan usein joukkoviivoilla. Sisimpänä oleva luonnollisten lukujen joukko N kuuluu samalla seuraavaksi sisimpään lukujoukkoon Z ja niin edelleen. Esimerkiksi luku 3 kuuluu kaikkiin lukujoukkoihin luonnollisista luvuista reaalilukuihin, mutta  0,1  ainoastaan rationaali- ja reaalilukuihin.

Viikko 40

Tällä viikolla ratkotaan arkipäivän matematiikkaa ja tutustutaan erilaisiin lukuihin. Tästä voisit katsoa, miten Guatemalassa lasketaan.

Vanhan ajan matematiikkaa:

Eräänä päivänä isäni sanoi minulle: ”Laskette matematiikkaa näköjään aivan eri tavalla kuin minä laskin silloin, kun olin lapsi.”

”Kuitenkin veikkaan, ettet hoksaa tätä  jokapäiväisessä elämässä käytettävää laskutapaa, jonka esittelen nyt sinulle”

8 + 5 = 1                                       8 + 8 =

3 + 11 = 2                                   9 + 7 =

3 + 10 = 1                                   12 + 4 =

9 + 5 = 2                                     6 + 8 =

4 + 4 = 8                                    10 + 6 =

Jos hoksaat, mitä laskuja nämä ovat ja osaat ratkaista oikeanpuoleisen sarakkeen laskut, niin vinkkaa opettajalle, sillä vain harva on itse oivaltanut, mistä on kysymys. (Mutta pari kolmasluokkalaistakin on osannut ratkaista tämän...)

UUDET SEISKAT, TERVETULOA!

Nyt tämä blogi alkaa ikäänkuin alusta. Vuorossa on matematiikan ykköskurssi, tervetuloa oppimaan ja opiskelemaan!
Vai tarvitaanko matematiikkaa enää lainkaan? Mieti kolme tilannetta, missä olet tarvinnut laskutaitoa.
Mieti, voisiko nykyään pärjätä, ettei osaisi vaikka kertotaulua lainkaan?
Tietokoneet ovat oikeastaan aika suuria laskukoneita, jotka suorittavat satojatuhansia eri laskutoimituksia sekunnissa. Tarvitseeko ihmisen enää laskeakaan lainkaan?
Mitä hyötyä on matematiikasta?
TÄSSÄ LINKKI, JOKA RATKAISEE MATEMATIIKAN ONGELMAT PUOLESTASI.

TILASTOT JA DIAGRAMMIT

Viimeisin asia, mitä peruskoulussa opitaan, on tilastot ja diagrammit. Monia asioita voidaan kuvata tilastojen avulla. Nämä tilastot ovat usein vaikealukuisia, ja yksittäisen asian vaihtelua on työläs etsiä pelkästä tilastosta. Mieti, miten vaikkapa eri kaupunkien asukaslukuja voisi kuvata siten, että jokaisen lukijan olisi heti helppo löytää vaikkapa suurin kaupunki.
Tilastojen kuvaamiseen ja havainnollistamiseen  käytetään erilaisia diagrammeja.
Samasta tilastosta voidaan tehdä monia eri diagrammeja.




Väestörekisterikeskuksen asukaslukutilastot

Yhtälöparin ratkaisu sijoittamalla

SIJOITUSKEINO

Esimerkki:   Ratkaise yhtälöpari
x − 3 = 2x + y
2y + 1 = 2x.
Ratkaisu. Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä x:
2y + 1 = 2x  | : 2
y + 1 /2 = x.
Sijoitetaan x = y + 1 /2 yhtälöön       x − 3 = 2x + y:
y + 1 /2 − 3 = 2 ·(y + 1 /2 ) + y      
yhdistetään vakiot ja poistetaan sulut:
y − 5 /2 = 2y + 1 + y
Siirretään kaikki Y:tä sisältävät termit vasemmalle ja vakiot oikealle
y − 3y = 1 + 5 /2
−2y = 7/2  | : 2
y = − 7/4 

Nyt x voidaan ratkaista sijoittamalla saatu  y jompaan kumpaan alkuperäisistä
yhtälöistä:
2 ·( −  7 /4)  + 1 = 2x

− 7 /2 + 1 = 2x  
2x = − 5/2    | : 2
x=− 5 /4
Yhtälön ratkaisu on x = − 5 /4 , y = − 7 /4 . Ratkaisun voi taas tarkistaa sijoit-
tamalla saadut luvut alkuperäisiin yhtälöihin.

KURSSI MA 10 Alkaa

Tervetuloa opiskelemaan yhtälöpareja ja tilastoja matematiikan viimeisellä yläasteen kurssilla. Ohessa ehdotus ajankäyttösuunnitelmaksi.

9b  KURSSI MAA10, KURSSISUUNNITELMA

	Päivämäärä	Tunnin aihe
1.	12.4	Kurssin aloitus, Kertausta yhtälöistä
2.	13.4	Kahden muuttujan yhtälö
3.	14.4	Yhtälöpari, graafinen ratkaisu
4.	19.4	Graafinen ratkaisu
5.	20.4	Ratkaisujen lukumäärä
6.	21.4	Algebrallinen ratkaiseminen	testi
7.	26.4	Sijoituskeino
8.	27.4	Yhteenlaskukeino
9.	28.4.	Yhteenlaskukeino, Sovelluksia
10.	3.5.	Sovelluksia
11.	4.5	Sovelluksia	testi
12.	5.5 *	Tilastojen kuvaaminen diagrammien avulla
13.	10.5 *	Erilaisia diagrammeja	Näytetehtävä
14.	11.5	Diagrammien piirtäminen
	12.5	Norssin päivä
15.	17.5 *	Keskiluvut ja hajonta
16.	18.5	Kertaus
17.	19.5	KOE	KOE
	24.-26.5	luokkaretki
18.	31.5 *	Tilastoja tietokoneella
19.	1.6 *	Tilastoja tietokoneella Heipat yläasteen matematiikalle!	testi
	2.6.	Ysien päivä, ei matikkaa

Arviointia:

koe 40 %,

testit yhteensä 20 %,

kotitehtävät 20 %,

Näytetehtävä 10 %

Tuntityöskentely 10 %


Ratkaise yhtälöparin avulla.


a) Lukujen x ja y summa on 20. Näiden samojen lukujen erotus on 16. Mitkä luvut ovat kyseessä?

b) Minkä kahden luvun summa on 16 ja osamäärä 3?

c) Suorakulmion piiri on 52 cm. Suorakulmion kanta on 20 cm pidempi kuin korkeus? Laske suorakulmion pinta-ala.

d) Kaupassa värikynät maksoivat 4,50 mk kappale ja tussit 3,80 mk kappale. Pekka osti näitä yhteensä 25 kappaletta, jolloin ostokset maksoivat 103,40 mk. Kumpia Pekka osti enemmän, kyniä vai tusseja?

e) Elokuvateatterissa oli 135 katsojaa. Lastenlipun hinta oli 20 mk ja aikuisten 35 mk. Pääsylipputulot olivat tuolloin 4170 mk. Montako prosenttia kävijöistä oli lapsia?

f) Tehdas valmistaa suklaarasioita, joissa on minttusuklaata ja valkoista suklaata. Minttusuklaan kilohinta on 49 mk ja valkoisen suklaan 65 mk. Paljonko kumpaakin laatua olisi 600 g rasiaan laitettava, kun sen kilohinnaksi suunniteltiin 58 mk?

Pallo

Seuraava teksti löytyi tiede-keskustelupalstalta: "Mitenkä lasketaan pallon pinta-ala ja tilavuus ja myöskin kartion tilavuus ja pinta-ala.


Selittäkää selävästi että mun aivot rekistöröi tiedon.


Amiksen kokeessa tarvin tietoja. Noi on varmaan peruskoulussa jo opetettu mutta en ole muista tarkkaan miten."

Auta kysyjää, ja kerro hänelle, miten pallon pinta-ala lasketaan. Lue oppikirjasta sivulta 162.

Tässä esimerkki.
Pallon pinta-alaa ja muita